Question

已知函數(shù)f（x）=a•2^|x|+1（a≠0），定義函數(shù)給出下列命題：
①F（x）=|f（x）|； 
②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；
③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，
其中所有正確命題的序號是（ ）
A．②
B．①③
C．②③
D．①②

Answer 1

【答案】分析：由題意得，F(xiàn)（x）=，再寫出|f（x）|的表達式，它和F（x）并不是同一個函數(shù)，故①錯誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可證得當x＞0或x＜0時，F(xiàn)（-x）=-F（x）；故函數(shù)F（x）是奇函數(shù)，②正確；當a＜0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，利用函數(shù)的單調性可得③正確．
解答：解：由題意得，F(xiàn)（x）=，
而|f（x）|=，它和F（x）并不是同一個函數(shù)，故①錯誤；
∵函數(shù)f（x）=a•2^|x|+1是偶函數(shù)，
當x＞0時，-x＜0，則F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）；
當x＜0時，-x＞0，則F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）；
故函數(shù)F（x）是奇函數(shù)，②正確；
當a＜0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
若mn＜0，m+n＞0，總有m＞-n＞0，
∴F（m）＜F（-n），即f（m）＜-F（n），
∴F（m）+F（n）＜0成立，故③正確．
故選C．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、命題的真假判斷與應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．