Question

如圖,△ABC的頂點A(3,4)、B(6,0)、C(-5,-2),求∠A平分線AT所在的直線方程.

Answer 1

解法一:∵AC==10,AB==5,∴T分所成比λ== =2(三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)).

設(shè)T的坐標為(x,y),則x==,y==-.

∴T(,-).

由直線方程的兩點式得AT的方程為=,即7x-y-17=0.

解法二:直線AC的斜率k_AC==,直線AB的斜率k_AB==-.

設(shè)直線AT的斜率為k(k＞,或k＜-.∵直線AC到AT的角等于直線AT到AB的角,∴=.

解得k=7或k=-(舍去).

∴所求直線AT的方程為y-4=7(x-3),即7x-y-17=0.

解法三:由解法二知k_AC·k_AB=-1,即AC⊥AB.∵AT是∠A的平分線,∴∠CAT=45°.

設(shè)直線AT的斜率為k,得=tan45°=1,解得k=7.

∴所求直線方程為y-4=7(x-3),即7x-y-17=0.

解法四:設(shè)直線AT上任一點P(x,y),則P點到直線AB、直線AC的距離相等.

直線AC方程為3x-4y+7=0,直線AB方程為4x+3y-24=0.

∴=.

化簡,得x+7y-31=0或7x-y-17=0.

結(jié)合圖形分析知x+7y-31=0為∠BAC的外角平分線方程,故舍去.

∴AT所在直線的方程為7x-y-17=0.