Question

已知橢圓C的離心率為，一條準線方程為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)動點P滿足：，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，求A，B的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的標準方程，利用橢圓C的離心率為，一條準線方程為，建立方程組，求得幾何量，即可求橢圓C的標準方程；
（2）利用，直線OM與ON的斜率之積為，確定P的軌跡方程，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為：（a＞b＞0）
∵橢圓C的離心率為，一條準線方程為
∴，∴a=，c=，∴b=1
∴橢圓C的標準方程為；                …．（4分）
（2）設(shè)P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由得x=x₁+x₂，y=y₁+y₂…（6分）
因為點M，N在橢圓上，即x²+3y²=3，所以，…（8分）
故==6+2（x₁x₂+3y₁y₂）…（10分）
設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知，因此x₁x₂+3y₁y₂=0…（12分）
所以x²+3y²=6，即…．（14分）
所以P點是橢圓上的點，設(shè)該橢圓的左、右焦點為A，B，則由橢圓的定義|PA|+|PB|為定值，又因，因此兩焦點的坐標為A（-2，0），B（2，0）．                                    …（16分）
點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查標準方程，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定橢圓的標準方程是關(guān)鍵．