Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，且點(diǎn)（b_n+1，b_n）在直線y=x-1上．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若c_n=a_n+3，求數(shù)列{b_nc_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3），由此能求出a_n．
（Ⅱ）因?yàn)椋╞_n+1，b_n）在直線y=x-1上，所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1，由此能求出b_n．
（Ⅲ）由c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹，知b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹，所以S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，再由錯(cuò)位相減法能求出S_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3）
所以{a_n+3}是首項(xiàng)為a₁+3=4，公比為2的等比數(shù)列．
所以a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，故a_n=2ⁿ⁺¹-3
（Ⅱ）因?yàn)椋╞_n+1，b_n）在直線y=x-1上，
所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1又b₁=1
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以b_n=n
（Ⅲ）c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹故b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹
所以S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹
故2S_n=1×2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²
相減得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=

4(2n-1)

2-1

-n•2n+2=(1-n)2n+2-4
所以S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算和前n項(xiàng)和公式的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用．