Question

已知函數f（x）=

1

2

x2+alnx，g（x）=（a+1）x．
（Ⅰ）若直線y=g（x）恰好為曲線y=f（x）的切線時，求實數a的值；
（Ⅱ）當x∈[

1

e

，e]時（其中無理數e=2.71828…），f（x）≤g（x）恒成立，試確定實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）當切點不知時，需要設切點，然后分別代入f（x），f′（x） 解得；
（Ⅱ）求參數的取值范圍．轉化為利用導數求最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）設切點為P（x₀，y₀）（x₀＞0），由題意得：

f′(x0)=a+1 f(x0)=(a+1)x0

，即

x0+ a x0 =a+1               (1) 1 2 x 2 0 +alnx0=(a+1)x 0   (2)

，
由（1）解得x₀=1或

x

0

=a．
將x₀=1代入（2）得：a=-

1

2

．
將

x

0

=a代入（2）得：lna=

a

2

+1  （3），
設h(x)=(

x

2

+1)-lnx，則h′(x)=

x-2

2x

，
∴h（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，h（x）_最小值=h（2）=2-ln2＞0，
∴方程（3）無實數解．
∴a=-

1

2

．
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得：a(x-lnx)≥

1

2

x2-x（4），
由(x-lnx)′=

x-1

x

知：x-lnx在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
∴x-lnx的最小值為1-ln1=1＞0，
∴不等式（4）可化為：a≥

1 2 x2-x

x-lnx

；
設t(x)=

1 2 x2-x

x-lnx

，x∈[

1

e

，e]，
∴t′(x)=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

當x∈（1，e]時，x-1＞0，  由(I)知

1

2

x+1-lnx＞0，
∴以t'（x）＞0；
當x∈[

1

e

，1）時，x-1＜0，  由(I)知

1

2

x+1-lnx＞0，
∴以t'（x）＜0；
∴以t（x）在[

1

e

， 1]上單調遞減，在[1，e]上單調遞增，
∴t(x)最大值=max{t(

1

e

)， t(e)}，
又t(

1

e

)=

1-2e

2e(e+1)

，t(e)=

e2-2e

2(e-1)

，t(

1

e

)-t(e)=

e(-e3+e2+3)-1

2e(e+1)(e-1)

，
又e=2.718…，
∴-e³+e²+3＜0，
∴t(x)最大值= t(e)=

e2-2e

2(e-1)

，
∴當x∈[

1

e

，e]時，f（x）≤g（x）恒成立時實數a的取值范圍是[

e2-2e

2(e-1)

， +∞)．

點評：本題考查了函數的切線方程，利用導數求最值得問題，培養(yǎng)了轉化思想，方程思想．