Question

已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）當(dāng)a=1，b=1時(shí)．f（2^x）=

5

4

，求x的值；
（2）若b＜0，b為常數(shù)，任意x∈[0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出方程的解．將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，f（x）=x|x-a|+b=x|x-1|+1，
若x≥1時(shí)，則f（x）=x²-x+1，
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x²+x+1，
設(shè)t=2^x，
若x≥0，則t≥1，
此時(shí)由f（2^x）=

5

4

，得t²-t+1=

5

4

，
即（t-

1

2

）²=

1

2

，
∴t=

1

2

+

2

2

=

1+ 2

2

，
∴x=log₂

1+ 2

2

．
當(dāng)x＜0時(shí)，t＜1，
此時(shí)由f（2^x）=

5

4

，得-t²+t+1=

5

4

，
即-（t-

1

2

）²+

1

4

=

1

4

，
∴t=

1

2

，∴x=log₂

1

2

=-1．
（2）∵b＜0
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=b＜0恒成立，∴a∈R
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）＜0，即|x²-ax|＜b，
∴b＜x²-ax＜-b，
∴（x+

b

x

）_max＜x＜（x-

b

x

）_min恒成立
令g（x）=x+

b

x

，則當(dāng)b＜0時(shí)，g（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴a＞g_max=g（1）=1+b，
令h（x）=x-

b

x

，當(dāng)-1≤b＜0時(shí)，在（0，1]上x-

b

x

=x+

-b

x

≥2

-b

，
當(dāng)x=

-b

時(shí)，取得最小值2

-b

，此時(shí)要使a存在，則滿足

1+b＜2 -b -1≤b＜0

，即-1≤b＜-3+2

2

，
當(dāng)b＜-1時(shí)，在（0，1]上h（x）=x-

b

x

，為減函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值，∴（x-

b

x

）_min=1-b，
綜上所述，當(dāng)-1≤b＜-3+2

2

時(shí)，a的取值范圍是（1+b，2

-b

），
當(dāng)b＜-1時(shí)，a的取值范圍是（1+b，1-b）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)方程的求解，利用換元法是解決指數(shù)型方程的基本方法，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決不等式恒成立的常用方法．