Question

10．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²cos2θ=8，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{6}$，曲線C₁、C₂相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）曲線C₁與直線$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）分別相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²cos2θ=8，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{6}$，可得ρ=±4，即可求A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）由ρ²cos2θ=8，得直角坐標(biāo)方程為x²-y²=8，直線$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入整理可得t²+4$\sqrt{3}t$-8=0，利用弦長公式求線段MN的長度．

解答 解：（Ⅰ）由ρ²cos2θ=8，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{6}$，可得ρ=±4，
∴A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（4，$\frac{π}{6}$），（4，-$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）由ρ²cos2θ=8，得直角坐標(biāo)方程為x²-y²=8，
直線$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入整理可得t²+4$\sqrt{3}t$-8=0，
∴|MN|=$\sqrt{（-4\sqrt{3}）^{2}-4×（-8）}$=4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，考查極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．