Question

△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，2asinB=

3

b
（1）求A
（2）若a=1，△ABC的面積S=2

3

，求b²+c²．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，根據sinB不為0求出sinA的值，即可確定出A的度數；
（2）利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將sinA的值與已知面積代入求出bc的值，再利用余弦定理列出關系式，將a，cosA，以及bc的值代入即可求出所求式子的值．

解答： 解：（1）已知等式2asinB=

3

b，利用正弦定理化簡得：2sinAsinB=

3

sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=

3

2

，
則A=

π

3

或

2π

3

；
（2）∵△ABC的面積S=2

3

，
∴

1

2

bcsinA=2

3

，即

1

2

bc•

3

2

=2

3

，
整理得：bc=8，
當a=1，cosA=

1

2

時，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即1=b²+c²-8，
此時b²+c²=9；
當a=1，cosA=-

1

2

時，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即1=b²+c²+8，不成立，舍去，
綜上，b²+c²=9．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．