Question

19．已知數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=2，且當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_nb_n+1-4b_n+1=4nb_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n∈N^*），記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使T_n＞$\frac{4}{15}$成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=2，且當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_nb_n+1-4b_n+1=4nb_n．n=1時(shí)，2a₁-4×2=4×1，解得a₁．
（2）c_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n+4）（2n+6）}$=$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$，利用裂項(xiàng)求和方法可得T_n，再利用數(shù)列單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=2，且當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_nb_n+1-4b_n+1=4nb_n．
∴n=1時(shí)，2a₁-4×2=4×1，解得a₁=6．
∴a_n=6+2（n-1）=2n+4．
（2）c_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n+4）（2n+6）}$=$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$．
由T_n＞$\frac{4}{15}$，即$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$＞$\frac{4}{15}$，化為：$\frac{1}{n+3}$＜$\frac{1}{15}$，
解得n≥13．
∴使T_n＞$\frac{4}{15}$成立的正整數(shù)n的最小值為13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．