Question

18．己知函數(shù)f（x）=（x-l）（log₃a）²-6（log₃a）x+x+l在x∈[0，l]內(nèi)恒為正值，則a的取值范圍是（　�。�

• A． -1＜a＜$\frac{1}{3}$
• B． a＜$\frac{1}{3}$
• C． a＞$\root{3}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$＜a＜$\root{3}{3}$

Answer 1

分析 由于一次項系數(shù)含有參數(shù)，必須分類討論．當(dāng)a=1時，顯然成立；當(dāng)a≠1時，要使函數(shù)f（x）=（x-1）（log₃a）²-6（log₃a）x+x+1在區(qū)間[0，1]上的函數(shù)值恒為正實數(shù)，則有$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，從而可求a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)a=1時，f（x）=x+1在區(qū)間[0，1]上的函數(shù)值恒為正實數(shù)；
當(dāng)a≠1時，要使函數(shù)f（x）=（x-1）（log₃a）²-6（log₃a）x+x+1在區(qū)間[0，1]上的函數(shù)值恒為正實數(shù)，
則有$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-（lo{g}_{3}a）^{2}+1＞0}\\{-6lo{g}_{3}a+2＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}＜a＜\root{3}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，主要考查利用函數(shù)思想解決恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中高檔題．