Question

已知圓O：x²+y²=4和點(diǎn)M（1，a），
（1）若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，求實(shí)數(shù)a的值，并求出切線方程；
（2）若a=2，圓O上有一動(dòng)點(diǎn)N（x₀，y₀），設(shè)線段MN上一點(diǎn)P滿足MP=2PN，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）由條件知點(diǎn)M在圓O上，從而a=±

3

，由此能求出切線方程．
（2）由MP=2PN，設(shè)P（x，y），M（1，2），N（x₀，y₀），則（x-1，y-2）=2（x₀-x，y₀-y），由此得

x0= 3x-1 2 y0= 3y-2 2

，再由動(dòng)點(diǎn)N（x₀，y₀）在圓上，能求出點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：（1）由條件知點(diǎn)M在圓O上，
所以，1+a²=4，即a=±

3

，
當(dāng)a=

3

時(shí)，點(diǎn)M為（1，

3

），kOM=

3

，k切線=-

3

3

，
此時(shí)，切線方程為y-

3

=-

3

3

（x-1），
即x+

3

y-4=0．
當(dāng)a=-

3

時(shí)，點(diǎn)M為（1，-

3

），

k

OM

=-

3

，k_切線=

3

3

，
此時(shí)，切線方程為y+

3

=

3

3

(x-1)，
即x-

3

y-4=0．
所以，所求的切線方程為x+

3

y-4=0或x-

3

y-4=0．
（2）由MP=2PN，設(shè)P（x，y），M（1，2），N（x₀，y₀），
則（x-1，y-2）=2（x₀-x，y₀-y），
∴

x0-1=2x0-2x y-2=2y0-2y

，解得

x0= 3x-1 2 y0= 3y-2 2

，
∵動(dòng)點(diǎn)N（x₀，y₀）在圓上，
∴

(3x-1)2

4

+

(3y-2)2

4

=4，
即（3x-1）²+（3y-2）²=16，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為（3x-1）²+（3y-2）²=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線方程和點(diǎn)的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．