Question

6．已知數列{a_n}為等比數列．
（1）a₅²=a₃•a₇是否成立？a₅²=a₁•a₉成立嗎？為什么？
（2）a_n²=a_n-1•a_n+1（n＞1）是否成立？你據此能得到什么結論？
（3）a_n²=a_n-k•a_n+k（n＞k＞0）是否成立？你又能得到什么結論？

Answer 1

分析 由等比數列的通項公式逐一驗證三個命題得答案．

解答 解：（1）∵數列{a_n}為等比數列，設首項為a₁，公比為q，
∴a₅²=$（{a}_{1}{q}^{4}）^{2}={{a}_{1}}^{2}{q}^{8}$，a₃•a₇=$（{a}_{1}{q}^{2}）（{a}_{1}{q}^{6}）$=${{a}_{1}}^{2}{q}^{8}$，則a₅²=a₃•a₇ ．
又${a}_{1}{a}_{9}={a}_{1}•{a}_{1}{q}^{8}$，則a₅²=a₁•a₉ ；
（2）a_n²=$（{a}_{1}{q}^{n-1}）^{2}={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，a_n-1•a_n+1=$（{a}_{1}{q}^{n-2}）（{a}_{1}{q}^{n}）={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，∴a_n²=a_n-1•a_n+1．
由此可得：等比數列中，除首項和末項外，其它任何一項都是與它相鄰兩項的等比中項；
（3）a_n²=$（{a}_{1}{q}^{n-1}）^{2}={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，a_n-k•a_n+k=$（{a}_{1}{q}^{n-k-1}）（{a}_{1}{q}^{n+k-1}）={{a}_{1}}^{2}{q}^{2n-2}$，∴a_n²=a_n-k•a_n+k ．
由此可得：等比數列中，除首項和末項外，其它任何一項都是與它等距離兩項的等比中項

點評 本題考查等比數列的性質，熟記以上結論對于求解等比數列問題尤為重要，該題是基礎題．