Question

(1)方程2x³－6x²＋3＝0有幾個解？如果有解，全部解的和為多少？

(2)探究方程2x³－6x²＋5＝0，2x³－6x²＋8＝0的全部解的和，你由此能得出什么結論？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)設函數f(x)＝2x³－6x²＋3．

　　因為f(－1)＝－5＜0，f(0)＝3＞0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝－5＜0，f(3)＝3＞0，

　　且函數f(x)＝2x³－6x²＋3的圖象是連續(xù)的曲線，

　　所以方程2x³－6x²＋3＝0有三個實數解．

　　因為f(－1)f(0)＜0，所以方程2x³－6x²＋3＝0的一個根x₀在區(qū)間(－1，0)內．

　　取區(qū)間(－1，0)的中點x₁＝－0.5，用計算器可得f(－0.5)＝1.25＞0．

　　因為f(－1)f(－0.5)＜0，x₀∈(－1，－0.5)．

　　再取區(qū)間(－1，－0.5)的中點x₂＝－0.75，用計算器可得f(－0.75)＜0．

　　因為f(－0.5)f(－0.75)＜0，x₀∈(－0.75，－0.5)．

　　同理，x₀∈(－0.75，－0.625)，x₀∈(－0.687 5，－0.625)，x₀∈(－0.652 5，－0.625)，x₀∈(－0.652 5，－0.640 625)，x₀∈(－0.648 427 5，－0.640 625)，x₀∈(－0.644 531 25，－0.640 625)．

　　由于|(－0.640 625)－(－0.644 531 25)|＜0.001，此時區(qū)間(－0.644 531 25，－0.640 625)的兩個端點值精確到0.001的近似值都是－0.64，

　　所以方程2x³－6x²＋3＝0的一個根為－0.64．

　　同理可得方程2x³－6x²＋3＝0的另外兩根分別為0.83和2.81．

　　所以方程2x³－6x²＋3＝0的三個解的和為－0.64＋0.83＋2.81＝3．

　　(2)利用同樣的方法可求得方程2x³－6x²＋5＝0，2x³－6x²＋8＝0的全部解的和也為3．

　　結論：一般地對于一元三次方程ax³＋bx²＋cx＋d＝0有三個根x₁，x₂，x₃，則x₁＋x₂＋x₃＝．

提示：

利用二分法求出方程的根，再求和從而得出結論．