Question

已知拋物線(xiàn)x²=4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、B，過(guò)A、B分別作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)l₁，l₂，若直線(xiàn)l₁，l₂交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M所在的直線(xiàn)為（　�。�

• A、y=-4
• B、y=-2
• C、y=-1
• D、y=-

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線(xiàn)方程求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由斜截式寫(xiě)出過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的積，再利用導(dǎo)數(shù)寫(xiě)出過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線(xiàn)方程，然后整體運(yùn)算可求得兩切線(xiàn)的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值-1，從而得到兩切線(xiàn)焦點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：由拋物線(xiàn)x²=4y得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1）．
設(shè)A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），
直線(xiàn)l：y=kx+1，代入拋物線(xiàn)x²=4y得：x²-4kx-4=0．
∴x₁x₂=-4…①．
又拋物線(xiàn)方程為：y=

1

4

x2，
求導(dǎo)得y′=

1

2

x，
∴拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)的斜率為

x1

2

，切線(xiàn)方程為y-

x12

4

=

x1

2

（x-x₁）…②
拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)的斜率為

x2

2

，切線(xiàn)方程為y-

x22

4

=

x2

2

（x-x₂）…③
由①②③得：y=-1．
∴l(xiāng)₁與l₂的交點(diǎn)P的軌跡方程是y=-1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，考查了整體運(yùn)算思想方法，是中檔題．