Question

已知圓C：x²+（y-1）²=16，過定點P（3，0）的直線l與圓交于A、B兩點；
（1）當|AB|取最大值時，求直線l的方程；
（2）若|AB|=4

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由圓的性質可知圓的最長的弦為圓的直徑，從而可知直線AB過C（0，1），P（3，0），利用直線方程的截距式可求
（2）分（i）當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=3，此時AB=2

7

不符合題意
（ii）當直線AB的斜率存在時，可設直線AB的方程為y=k（x-3）即kx-y-3k=0，由AB=4

3

及

1

2

×

AB

2

2+d2=r2可得d然后由點到直線的距離公司可求圓心C（0，1）到直線AB的距離d，建立關于k的方程，求解即可

解答：解：（1）由圓的性質可知圓的最長的弦為圓的直徑
|AB|的最大值即為圓的直徑，此時AB的過C（0，1），P（3，0），直線AB的方程為

x

3

+y=1
（2））（i）當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=3，此時AB=2

7

不符合題意
（ii）當直線AB的斜率存在時，可設直線AB的方程為y=k（x-3）即kx-y-3k=0
∵AB=4

3

又∵

1

2

×

AB

2

2+d2=r2
∴d²=16-12=4
∵圓心C（0，1）到直線AB的距離d=

|3k+1|

1+k2

=2
∴5k²+6k-3=0
∴k=

-3±2 6

5

直線AB的方程為y=

-3±2 6

5

(x-3)

點評：本題主要考查了圓的性質：圓的最長弦為直接的應用，直線與圓相交關系中弦長的求解，要注意靈活應用圓的性質．