Question

15．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n＞0（n∈N^*），數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+1=$\frac{2}{{{S_{n+1}}+{S_n}-2}}$．
（1）判斷數(shù)列{（S_n-1）²}是否等差數(shù)列或等比數(shù)列？試說(shuō)明理由；
（2）設(shè){b_n}是數(shù)列{S_n}中的按從小到大順序組成的整數(shù)數(shù)列．
①求b₃；
②存在N（N∈N^*），當(dāng)n≤N時(shí)，使得在{S_n}中，數(shù)列{b_n}有且只有20項(xiàng)，求N的范圍．

Answer 1

分析 （1）{（S_n-1）²}是等差數(shù)列，證明如下：由a_n+1=S_n+1-S_n，可得（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n-2）=2； 化簡(jiǎn)整理即可證明；
（2）由（1）知：（S_n-1）²=1+2（n-1）=2n-1，可得S_n=1+$\sqrt{2n-1}$．可得：S₁=1+1=2=b₁，S₅=1+3=4=b₂，S₁₃=1+5=6=b₃．由2n-1是奇數(shù)，S_n=1+$\sqrt{2n-1}$為有理數(shù)，可設(shè)n=2k²-2k+1，n遞增，又當(dāng)k=20時(shí)，n=761；當(dāng)k=21時(shí)，n=841，即可得出．

解答 解：（1）{（S_n-1）²}是等差數(shù)列，證明如下：
∵a_n+1=S_n+1-S_n，∴（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n-2）=2；   
即（S_n+1）²-（S_n）²-2（S_n+1-S_n）=2，
∴（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2，且（S₁-1）²=1，
∴{（S_n-1）²}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由（1）知：（S_n-1）²=1+2（n-1）=2n-1，
∵a_n＞0，
∴S_n≥a_n-1，∴S_n=1+$\sqrt{2n-1}$．
①n=1時(shí)，S₁=1+1=2=b₁，
n=5時(shí)，S₅=1+3=4=b₂，
n=13時(shí)，S₁₃=1+5=6=b₃．
②∵2n-1是奇數(shù)，S_n=1+$\sqrt{2n-1}$為有理數(shù)，則$\sqrt{2n-1}$=2k-1，k∈Z．
∴n=2k²-2k+1，
當(dāng)k≥1時(shí)，n遞增，又當(dāng)k=20時(shí)，n=761；當(dāng)k=21時(shí)，n=841；
∴存在N∈[761，840]，當(dāng)n≤N時(shí)，使得在{S_n}中，數(shù)列{b_k}有且只有20項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式的應(yīng)用、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．