Question

已知橢圓的左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，曲線C是以A、B兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，焦距為的雙曲線。設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T。
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)P、T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，求證x₁·x₂為一定值；
（3）設(shè)△TAB與△POB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為S₁與S₂，且，求S₁²-
S₂²的取值范圍。

Answer 1

解：（1）依題意可得A(-1，0)，B(1，0)
雙曲線的焦距為，∴c=，
∴b²=c²-a²=5-1=4
∴雙曲線C的方程為
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，i=1,2），直線AP的斜率為k（k＞0），則直線AP的方程為y=k（x+1）
聯(lián)立方程組 整理，得
解得x=-1或∴
同理方程組可得：
∴x₁·x₂=1為一定值
（3）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，i=1,2），
則，．
∵≤15，∴，即
∵點(diǎn)P在雙曲線上，則，所以，即
又∵點(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以
∵，
∴
由（2）知，，即，設(shè)，則，
∴，
∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增、
∴當(dāng)t=4，即時(shí)，
當(dāng)t=2，即時(shí)，
∴的取值范圍為