Question

已知cosα=

1

3

，cos(α+β)=-

1

3

，且α，β∈(0，

π

2

)，則cos（α-β）的值等于

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)α的范圍，求出2α的范圍，由cosα的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cos2α的值，然后再利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sin2α的值，又根據(jù)α和β的范圍，求出α+β的范圍，由cos（α+β）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sin（α+β）的值，然后根據(jù)α-β=2α-（α+β），利用兩角差的余弦函數(shù)公式把所求的式子化簡后，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：由2α∈（0，π），及cosα=

1

3

，得到cos2α=2cos²α-1=-

7

9

，且sin2α=

1-(- 7 9 )2

=

4 2

9

，
由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=-

1

3

，得到sin（α+β）=

1-(- 1 3 )2

=

2 2

3

，
則cos（α-β）=cos[2α-（α+β）]
=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）
=-

7

9

×（-

1

3

）+

4 2

9

×

2 2

3

=

23

27

．
故答案為：

23

27

點評：此題考查學生靈活運用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關系化簡求值，是一道中檔題．解題的關鍵是角度的靈活變換即α-β=2α-（α+β）．