Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2c，離心率為e，左焦點為F，點M（$\sqrt{2}$c，$\sqrt{2}$ce）在橢圓C上，O是坐標原點．
（Ⅰ）求e的大��；
（Ⅱ）若C上存在點N滿足|FN|等于C的長軸長的$\frac{3}{4}$，求直線ON的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點M（$\sqrt{2}$c，$\sqrt{2}$ce）在橢圓C上，建立方程，即可求e的大小；
（Ⅱ）利用|FN|等于C的長軸長的$\frac{3}{4}$，求出N的坐標，即可求直線ON的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵點M（$\sqrt{2}$c，$\sqrt{2}$ce）在橢圓C上，
∴$\frac{2{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{2{c}^{2}{e}^{2}}{^{2}}=1$，
∴b²=2c²，
∴a²=3c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）C的方程可化為$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}=1$，設(shè)N（x₁，y₁），
則∵|FN|等于C的長軸長的$\frac{3}{4}$，
∴|FN|²=（x₁+c）²+y₁²=$（\frac{3}{4}×2\sqrt{3}c）^{2}$，
∴4x₁²+24cx₁-45c²=0，
∴x₁=$\frac{3}{2}$c，
∴y₁=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，
∴直線ON的方程為$y=±\frac{\sqrt{2}}{3}x$．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．