Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²-3n,數(shù)列{b_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足a₁=-b₁, b₃(a₂-a₁)=b₁.

（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；

（2）記c_n=a_n·b_n,是否存在正整數(shù)M,使得對一切n∈N^*,c_n≤M恒成立，若存在，請求出M的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)解：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²-3n，

∴a_n=S_n-S_n-1=4n-5(n∈N^*,n≥2).

又∵a_n=S₁=-1，

∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n-5(n∈N^*).

∵數(shù)列{b_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，

b₁=-a₁=1,a₂-a₁=4,∴b₃=,

公比q=，

數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=(n∈N^*).

（2）解法一：c_n=a_n·b_n=，

由c_n+1-c_n==≥0,得n≤2.

∴c₃＞c₂＞c₁.

當(dāng)n≥3時(shí),c_n+1＜c_n,即c₃＞c₄＞c₅＞…，

又∵c₃=,

故存在正整數(shù)M，使得對一切n∈N^*,c_n≤M恒成立,M的最小值為2.

解法二：c_n=a_n·b_n=，

令f(x)=,f′(x)=4·()^x-1+(4x-5)·()^x-1·ln，

由f′(x)＞0得x＜+≈2.69，

函數(shù)f(x)在(-∞,+)上單調(diào)遞增;在(+,+∞)上單調(diào)遞減.

對于n∈N^*,c₂=f(2)=,c₃=f(3)=,

∴c₂＜c₃,即數(shù)列{c_n}的最大項(xiàng)是c₃.

故存在正整數(shù)M，使得對一切n∈N^*,c_n≤M恒成立，M的最小值為2.