Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）|x-a|+b，a，b∈R，則下列敘述中，正確的序號是（　�。�
①對任意實數(shù)a，b，函數(shù)y=f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)；
②對任意實數(shù)a，b，函數(shù)y=f（x）在R上都不是單調(diào)函數(shù)；
③對任意實數(shù)a，b，函數(shù)y=f（x）的圖象都是中心對稱圖象；
④存在實數(shù)a，b，使得函數(shù)y=f（x）的圖象不是中心對稱圖象．

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ③④

Answer 1

分析 可先考慮函數(shù)g（x）=x|x|的單調(diào)性和圖象的對稱性，然后考慮將函數(shù)g（x）的圖象左右平移和上下平移，得到函數(shù)f（x）=（x-a）|x-a|+b的圖象，觀察它的上升還是下降和對稱性．

解答 解：設(shè)函數(shù)g（x）=x|x|即g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，作出g（x）的圖象，得出g（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象關(guān)于原點對稱，
而f（x）=（x-a）|x-a|+b的圖象可由函數(shù)y=g（x）的圖象先向左（a＜0）或向右（a＞0）平移|a|個單位，
再向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|個單位得到．
所以對任意的實數(shù)a，b，都有f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象關(guān)于點（a，b）對稱．
故選：A

點評 本題考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意運用圖象的平移不改變函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，并注意去絕對值的方法，本題是一道中檔題．