Question

9．已知函數y=f（x），x∈D，如果對于定義域D內的任意實數x，對于給定的非零常數m，總存在非零常數T，恒有f（x+T）＞mf（x）成立，則稱函數f（x）是D上的m級類增周期函數，周期為T，若恒有f（x+T）=mf（x）成立，則稱函數f（x）是D上的m級類周期函數，周期為T．
（1）已知函數f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期為1的2級類增周期函數，求實數a的取值范圍；
（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上的m級類周期函數，且y=f（x）是[0，+∞）上的單調增函數，當x∈[0，1）時，f（x）=2^x，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意-（x+1）²+a（x+1）＞2（-²+ax）對一切[3，+∞）恒成立，轉化為a＜$\frac{{x}^{2}-2x-1}{x-1}$=$\frac{{（x-1）}^{2}-2}{x-1}$=（x-1）-$\frac{2}{x-1}$，利用基本不等式求解即可．
（2）分類討論f得出f（x）在[0，+∞）上單調遞增，m＞0且mⁿ•2^n-n＞m^n-1•2^n-（n-1），即m≥2．

解答 解：（1）由題意可知：f（x+1）＞2f（x），
即-（x+1）²+a（x+1）＞2（-²+ax）對一切[3，+∞）恒成立，
（x-1）a＜x²-2x-1，
∵x∈[3，+∞）
∴a＜$\frac{{x}^{2}-2x-1}{x-1}$=$\frac{{（x-1）}^{2}-2}{x-1}$=（x-1）-$\frac{2}{x-1}$，
令x-1=t，則t∈[2，+∞），
g（x）=t-$\frac{2}{t}$ 在[2，+∞）上單調遞增，
∴g（t）_min=g（2）=1，
∴a＜1．
（2）∵x∈[0，1）時，f（x）=2^x，
∴當x∈[1，2）時，f（x）=mf（x-1）=m•2^x-1，
當x∈[n，n+1]時，f（x）=mf（x-1）=m²f（x-2）=…=mⁿf（x-n）=mⁿ•2^x-n，
即x∈[n，n+1）時，f（x）=mⁿ•2^x-n，n∈N^*，
∵f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴m＞0且mⁿ•2^n-n＞m^n-1•2^n-（n-1），即m≥2．

點評 本題綜合考查了函數的性質，推理變形能力，分類討論的思想，屬于難題