Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，邊長為的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

    (Ⅰ)求四棱錐P―ABCD的體積；

    (Ⅱ)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱上PC找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，

    ∴△PAD，△ABD，△BCD是全等的正三角形．

    取AD中點(diǎn)G，連結(jié)PG，BG，則PG⊥AD．

    ∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，

    即PG為四棱錐P―ABCD的高．

    ∵AD=A=．∴PG=．

又S_□ABCD=AB?AD?sin∠DAB=，

∴_□．

(Ⅱ)取PC中點(diǎn)F，則F即為所找的點(diǎn)． 

連接DE、EF、DF(如圖)，

∵G、E分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴GB//DE，

∵E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)，

∴EF//PB．

∴AD⊥PG，AD⊥BG，BG∩PG=G，

∴AD⊥平面PGB，

  ∴AD⊥PB，∴AD⊥EF．

    又BG//DE，∴AD⊥DE，DE∩EF=E，

    ∴AD⊥平面DEF，AD平面ABCD，

∴平面DEF⊥平面ABCD．