Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+2mx-1，0≤x≤1}\\{mx+2，x＞1}\end{array}\right.$，若f（x）在區(qū)間[0，+∞）上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-2，-$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 分類討論以確定方程的根的個(gè)數(shù)，從而化函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為方程的根的個(gè)數(shù)，從而解得．

解答 解：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，2x²+2mx-1=0，
易知x=0不是方程2x²+2mx-1=0的解，
故m=$\frac{1}{2x}$-x在（0，1]上是減函數(shù)，
故m≤$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
即m≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，方程f（x）=0在[0，1]上有且只有一個(gè)解，
當(dāng)x＞1時(shí)，
令mx+2=0得，m=-$\frac{2}{x}$，
故-2＜m＜0，
即當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，方程f（x）=0在（1，+∞）上有且只有一個(gè)解，
綜上所述，若f（x）在區(qū)間[0，+∞）上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-2，-$\frac{1}{2}$]；
故答案為：（-2，-$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用．