Question

已知拋物線C：x²=2py（p為正常數(shù)）的焦點為F，過F做一直線l交C于P，Q兩點，點O為坐標原點．
（1）當P，Q兩點關于y軸對稱時，|PQ|=4，求拋物線的方程；
（2）若△POQ的面積記為S，求

S2

|PQ|

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義可知2p=|PQ|進而求得p，則拋物線方程可得．
（2）根據(jù)（1）中拋物線方程求得焦點坐標，設直線l的方程，代入拋物線方程消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，進而根據(jù)弦長公式求得|PQ|，根據(jù)點到直線的距離求得原點到直線l的距離，進而可求得三角形POQ的面積，最后代入

S2

|PQ|

即可求得答案．

解答：解（1）由已知|PQ|=4，根據(jù)拋物線的對稱性可知所以2p=|PQ|=4，所以拋物線方程x²=4y
（2）顯然直線l斜率存在，F(0，

p

2

)設l：y=kx+

p

2

代入C：x²=2py得x²-2pkx-p²=0，x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
求得弦長|PQ|=2p（1+k²），原點到直線l距離

p

2 1+k2

，
S2=

1

4

•(

p

2 1+k2

)2|PQ|2，所以

S2

|PQ|

=

p3

8

點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了直線與拋物線的關系以及拋物線焦點弦的問題，平面幾何的知識．綜合性較強．