Question

2．已知圓心為C的圓：x²+y²+2x-4y+m=0與直線2x+y-3=0相交于A、B兩點(diǎn)
（1）若△ABC為正三角形，求m的值；
（2）是否存在常數(shù)m，使以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圓的圓心和半徑，由正三角形的性質(zhì)，可得C到AB的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，計(jì)算可得m的值；
（2）假設(shè)存在常數(shù)m，使以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．即有OA⊥OB，取AB的中點(diǎn)M，連接OM，CM，即有OM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{{r}^{2}-9rzr5f6^{2}}$，由直線垂直的條件，由直線的交點(diǎn)可得M的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，解方程可得m，進(jìn)而判斷存在．

解答 解：（1）圓：x²+y²+2x-4y+m=0的圓心C（-1，2），
半徑為r=$\sqrt{5-m}$，
由△ABC為正三角形，可得C到AB的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
即為$\frac{|-2+2-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{5-m}$，
解得m=$\frac{13}{5}$；
（2）假設(shè)存在常數(shù)m，使以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．
即有OA⊥OB，取AB的中點(diǎn)M，連接OM，CM，
即有OM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{{r}^{2}-5n9fyu0^{2}}$，
由CM⊥AB，可得CM的方程為y-2=$\frac{1}{2}$（x+1），
聯(lián)立直線2x+y-3=0，可得M（$\frac{1}{5}$，$\frac{13}{5}$），
即有$\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{169}{25}}$=$\sqrt{5-m-\frac{9}{5}}$，
解得m=-$\frac{18}{5}$．
則存在常數(shù)m=-$\frac{18}{5}$，使以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查弦長公式和正三角形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，屬于中檔題．