Question

如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點與點．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求此時圓的方程；

（3）設(shè)點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標(biāo)原點，

求證：為定值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2），；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先通過離心率求出，再通過，然后寫出橢圓方程；（2）先設(shè)出點的坐標(biāo)，由于點在橢圓上，所以，找到向量坐標(biāo)，根據(jù)點乘列出表達式，配方法找到表達式的最小值，得到點坐標(biāo)，點在圓上，代入得到圓的半徑，就可以得到圓的方程；（3）設(shè)出點的坐標(biāo)，列出直線的方程，因為直線與軸有交點，所以令，得到，所以，又因為點在橢圓上，得到方程，代入中，得到，所以.

試題解析：（1）依題意，得，，∴；

故橢圓的方程為 ．         3分

（2）方法一：點與點關(guān)于軸對稱，設(shè)，， 不妨設(shè)．

由于點在橢圓上，所以．     （*）          4分

由已知，則，，

所以 

．   6分

由于，故當(dāng)時，取得最小值為．

由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．

故圓的方程為：．              8分

方法二：點與點關(guān)于軸對稱，故設(shè)，

不妨設(shè)，由已知，則

 

．  6分

故當(dāng)時，取得最小值為，此時，

又點在圓上，代入圓的方程得到．

故圓的方程為：．       8分

(3) 方法一：設(shè)，則直線的方程為：，

令，得， 同理：，       10分

故      （**）             11分

又點與點在橢圓上，故，，        12分

代入（**）式，得： ．

所以為定值．        14分

方法二：設(shè)，不妨設(shè)，，

其中．則直線的方程為：，

令，得，

同理：，      12分

故．

所以為定值．    14分

考點：1.橢圓方程；2.配方法求最值.