Question

16．已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PA=AD，點E為AB中點，點F在線段PD上，且PF：FD=1：3．
（1）證明平面PED⊥平面FAB；
（2）若PD=4，求三棱錐P-FAB的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BD，可得AB⊥DE，由PD⊥平面ABCD，可得AB⊥PD，即可證明AB⊥平面PED，結(jié)合AB?平面FAB，從而可證平面PED⊥平面FAB．
（2）由PD=4，可求PF，F(xiàn)D，DE的值，進而可求V_P-ABD，V_F-ABD的值，利用V_P-ABF=V_P-ABD-V_F-ABD即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
證明：（1）連接BD，
∵AB=AD，∠DAB=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∵E是AB中點，
∴AB⊥DE，…2分
∵PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥PD，
∵DE?平面PED，PD?平面PED，DE∩PD=D，
∴AB⊥平面PED，…4分
∵AB?平面FAB，
∴平面PED⊥平面FAB．…6分
（2）∵PD=4，可求：PF=1，F(xiàn)D=3，DE=2$\sqrt{3}$，…10分
∴△DAB的面積為4$\sqrt{3}$，
∴V_P-ABD=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，V_F-ABD=4$\sqrt{3}$，…11分
∴V_P-ABF=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-4$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．…12分

點評 本題主要考查了平面與平面垂直的判定，三棱錐體積的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．