Question

設(shè)F₁、F₂是橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F₁、F₂是一個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)，且|PF₁|＞|PF₂|,求的值.

Answer 1

思路分析：由定義知|PF₁|+|PF₂|=6，再由直角三角形的邊的關(guān)系，可分別求出|PF₁|與|PF₂|的值，從而求出，但要注意|PF₁|＞|PF₂|,說(shuō)明P在右半橢圓上，且直角頂點(diǎn)未定需討論.

解：由方程知a=3,b=2及c²=a²-b²知c=,故F₂(,0)，且|PF₁|＞|PF₂|,則F₁不是直角頂點(diǎn).

(1)若P為直角頂點(diǎn)，則PF₁⊥PF₂，于是|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=20.                     ①

又根據(jù)橢圓的定義知|PF₁|+|PF₂|=6.                                              ②

由①②知|PF₁|=4，|PF₂|=2，

∴=2.

（2）若F₂為直角頂點(diǎn)，則PF₂⊥x軸，可解得P(,±),

∴|PF₂|=,則|PF₁|=6-|PF₂|=.

∴=.

綜上可知，的值為2或.