Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知△ABC的頂點A（-5，0），C（5，0），頂點B在橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{11}$=1，則$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)所給的橢圓的方程寫出橢圓的長軸的長，兩個焦點之間的距離，根據(jù)正弦定理得到角的正弦值之比就等于邊長之比，把邊長代入，得到比值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的a=6，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{36-11}$=5，
△ABC的頂點A（-5，0），C（5，0），即為橢圓的兩焦點，
由橢圓定義可得，AB+CB=2a=12，
又AC=10，
由正弦定理知$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{BC+AB}{AC}$=$\frac{12}{10}$=$\frac{6}{5}$，
故答案為：$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)和正弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把角的正弦值之比寫成邊長之比，進而和橢圓的參數(shù)結(jié)合起來，需注意特殊點的“巧合”．