Question

（本小題滿分13分）

    在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，為動點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為．

（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，．若點(diǎn)在軸上，且<滿足，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】第一問中利用已知中點(diǎn)，，為動點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為．設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意可知，化簡得到軌跡方程。

第二問中對于直線斜率是否存在分為兩種情況討論，然后

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足條件的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

將代入并整理得，

.   .

結(jié)合韋達(dá)定理得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意可知，

整理得.

所以動點(diǎn)的軌跡的方程為.      ………5分

（II）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足條件的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.     ………6分

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

將代入并整理得，

.   .

設(shè)，，則， .

設(shè)的中點(diǎn)為，則，，

所以.                                  ………9分

由題意可知，

又直線的垂直平分線的方程為.

令解得 .                         .………10分

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當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912230723387997/SYS201207091223420151327243_DA.files/image036.png">，所以.   .………12分

綜上所述，點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是.                .………13分