Question

13．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，AC=2$\sqrt{2}$，A₁C=2$\sqrt{3}$，M、N分別是AC、BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥面A₁B₁C；
（2）求點(diǎn)M到平面A₁B₁C的距離．

Answer 1

分析 （1）取A₁A的中點(diǎn)E，連接NE，ME，證明平面MNE∥面A₁B₁C，即可證明MN∥面A₁B₁C；
（2）利用等體積，即可求點(diǎn)M到平面A₁B₁C的距離．

解答 （1）證明：取A₁A的中點(diǎn)E，連接NE，ME，則NE∥A₁B₁，
∵NE?面A₁B₁C，A₁B₁?面A₁B₁C，
∴NE∥面A₁B₁C．
∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，
∴ME∥A₁C，
∵M(jìn)E?面A₁B₁C，A₁C?面A₁B₁C，
∴ME∥面A₁B₁C．
∵NE∩ME=E，
∴平面MNE∥面A₁B₁C．
∵M(jìn)N?平面MNE，
∴MN∥面A₁B₁C；
（2）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，AC=2$\sqrt{2}$，A₁C=2$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=90°，B₁C=2$\sqrt{2}$，A₁A=2
又A₁B₁⊥平面B₁C，∴A₁B₁⊥B₁C，
∴${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}C}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2$=2$\sqrt{2}$，
設(shè)點(diǎn)M到平面A₁B₁C的距離為h，由等體積可得$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\sqrt{2}$
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線面、面面平行的判定，考查點(diǎn)面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．