Question

已知z₁=a+（a+1）i，z₂=-3b+（b+2）i（a＞0、b＞0）且3z₁²+z₂²=0，求z₁和z₂．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)條件中所給的兩個向量之間的關系3z₁²+z₂²=0，變形為z₁和z₂之間的關系z₂=±iz₁，因為有兩種情況，所以要進行討論，再根據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件，寫出關系式，解方程組得到結果．
解答：解：∵3z₁²+z₂²=0，
∴（）²=-3，即=±i．
∴z₂=±iz₁．
當z₂=iz₁時，得
-3b+（b+2）i=i[a+（a+1）i]=-（a+1）+ai．
由復數(shù)相等的條件，得，解得a=2，b=1，
∴z₁=+3i，z₂=-3+3i．
當z₂=-iz₁時，得-3b+（b+2）i=（a+1）-ai，
由復數(shù)相等的條件，知
∴
∵已知a，b∈（0，+∞），
∴此時適合條件的a，b不存在．
∴z₁=+3i，z₂=-3+3i．
點評：本題考查復數(shù)的乘除運算和復數(shù)相等的充要條件，是一個基礎題，本題可以出現(xiàn)在選擇和填空中，一旦出現(xiàn)復數(shù)的加減乘除運算，是比較簡單的問題，若出現(xiàn)則是要我們一定要得分的題目．