Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，1＜a₁＜2，a_n+1=1+a_n-$\frac{1}{2}$a_n²（n∈N^*）．求證：
（1）a₃∈（$\frac{11}{8}$，$\frac{3}{2}$）；
（2）當(dāng)n≥3時(shí)，|a_n-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用配方，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，求得a₂的范圍，進(jìn)而得到a₃的范圍；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證n=3，4成立，再假設(shè)n=k成立，證明n=k+1，也成立，注意運(yùn)用二次函數(shù)的值域求法和不等式的性質(zhì)．

解答 證明：（1）由1＜a₁＜2，a_n+1=1+a_n-$\frac{1}{2}$a_n²（n∈N^*）
=-$\frac{1}{2}$（a_n-1）²+$\frac{3}{2}$，
即有a₂=-$\frac{1}{2}$（a₁-1）²+$\frac{3}{2}$，在（1，2）遞減，
即有$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$＜a₂＜$\frac{3}{2}$，即1＜a₂＜$\frac{3}{2}$，
又a₃=-$\frac{1}{2}$（a₂-1）²+$\frac{3}{2}$，在（1，$\frac{3}{2}$）遞減，
則$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$＜a₃＜$\frac{3}{2}$，即$\frac{11}{8}$＜a₃＜$\frac{3}{2}$；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)n=3時(shí)，$\frac{11}{8}$＜a₃＜$\frac{3}{2}$，即有|a₃-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{8}$，成立，
當(dāng)n=4時(shí)，a₄=-$\frac{1}{2}$（a₃-1）²+$\frac{3}{2}$，在（$\frac{11}{8}$，$\frac{3}{2}$）遞減，
即有$\frac{11}{8}$＜a₄＜$\frac{183}{128}$，即有|a₄-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{16}$，成立，
假設(shè)n=k（k≥3），|a_k-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{{2}^{k}}$．
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=-$\frac{1}{2}$（a_k-1）²+$\frac{3}{2}$，
由$\sqrt{2}$-$\frac{1}{{2}^{k}}$＜a_k＜$\sqrt{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$，
可得$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²＜a_k+1＜$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²，
要證|a_k+1-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{{2}^{k+1}}$等價(jià)為$\sqrt{2}-\frac{1}{{2}^{k+1}}$＜a_k+1＜$\sqrt{2}+\frac{1}{{2}^{k+1}}$．
由$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²-（$\sqrt{2}-\frac{1}{{2}^{k+1}}$）=$\frac{3-2\sqrt{2}}{{2}^{k+1}}$-$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$
=$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$•$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$（2^k-3-2$\sqrt{2}$）＞0，
即有$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²＞（$\sqrt{2}-\frac{1}{{2}^{k+1}}$）；
$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²-（$\sqrt{2}+\frac{1}{{2}^{k+1}}$）=$\frac{2\sqrt{2}-3}{{2}^{k+1}}$-$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$＜0恒成立．
即有$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²＜（$\sqrt{2}+\frac{1}{{2}^{k+1}}$）．
則有當(dāng)n=k+1時(shí)，|a_k+1-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{{2}^{k+1}}$成立．
綜上可得，當(dāng)n≥3時(shí)，|a_n-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，同時(shí)考查二次函數(shù)的最值求法，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．