Question

（2012•河南模擬）已知函數(shù)f（x）=（2-a）x-2lnx，（a∈R）
（I）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）由題意知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數(shù)，利用函數(shù)函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，即f′（1）═0，可求a的值；
（II）由（I）得，x=

2

2-a

可能為f（x）的極值點，下面對a的值進行分類討論：（1）當a=2時（2）當a＞2時（3）當a＜2時，由導數(shù)的正負，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：由題意知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）
（I）求導函數(shù)，可得f′（x）=2-a-

2

x

，令f′（x）=0得2-a-

2

x

=0，
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=2-a-2=0
∴a=0；
（II）由（I）得，x=

2

2-a

可能為f（x）的極值點，
（1）當a=2時，f′（x）=-

2

x

＜0，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），
（2）當a＞2時，f′（x）=2-a-

2

x

在（0，+∞）上小于0，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），
（3）當a＜2時，f′（x）=2-a-

2

x

，當x＞

2

2-a

時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增，當x＜

2

2-a

時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減，
綜上，當a≥2時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），當a＜2時，f（x）單調(diào)增區(qū)間（

2

2-a

，+∞），f（x）單調(diào)減區(qū)間（0，

2

2-a

）．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，正確求導是關鍵．