Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=,a₂=并且數(shù)列l(wèi)og₂(a₂-),log₂(a₃-),…,log₂

(a_n+1-)是公差為-1的等差數(shù)列，而a₂-,a₃-,…,a_n+1-是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式.

Answer 1

剖析:由數(shù)列{log₂(a_n+1-)}為等差數(shù)列及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出a_n+1與a_n的一個(gè)遞推關(guān)系式①;由數(shù)列{a_n+1-}為等比數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出a_n+1與a_n的另一個(gè)遞推關(guān)系式②.解兩個(gè)關(guān)系式組成的方程組，即可求出a_n.

解:∵數(shù)列{log₂(a_n+1-)}是公差為-1的等差數(shù)列，

    ∴l(xiāng)og₂(a_n+1-)=log₂(a₂-a₁)+(n-1)(-1)=log₂(-×)-n+1=-(n+1)，

于是有a_n+1-=2^-(n+1).                                         ①

    又∵數(shù)列{a_n+1-a_n}是公比為的等比數(shù)列,∴a_n+1-a_n=(a₂-a₁)·3^-(n-1)

    =(-×)·3^-(n-1)=3^-(n+1).

    于是有a_n+1-a_n=3^-(n+1).                                    ②

    由①-②可得a_n=2^-(n+1)-3^-(n+1),

    ∴a_n=-.