Question

7．已知函數f（x）=$\frac{2lnx+（x-m）^{2}}{x}$，若存在x∈[1，2]使得f′（x）•x+f（x）＞0，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （2，$\frac{5}{2}$）
• C． （0，$\frac{5}{2}$）
• D． （-∞，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 對f（x）求導，確定出不等式的等價結論為二次函數大于0，從而確定出m的范圍．

解答 解：∵f（x）=$\frac{2lnx+（x-m）^{2}}{x}$，
∴f（x）定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2lnx+2-{m}^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）•x+f（x）=$\frac{2{x}^{2}-2mx+2}{x}$＞0對存在x∈[1，2]成立，
∴存在x∈[1，2]使得：x²-mx+1＞0，
令g（x）=x²-mx+1，
∴g（1）＞0或g（2）＞0即可，
m＜2或m＜$\frac{5}{2}$．，
∴m＜$\frac{5}{2}$，
故選D．

點評 本題考查函數求導，以及不等式的等價變換問題．