Question

20．已知函數f（x）=|x-2|+|2x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥7；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）+|x-2|＞a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值的幾何意義，寫出分段函數，即可解不等式f（x）≥7；
（Ⅱ）f（x）+|x-2|=2|x-2|+|2x+1|≥|2x+1-（2x-4）|=5，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（I）當x≤-$\frac{1}{2}$時，不等式可化為2-x-2x-1≥7，得x≤-2，此時x≤-2；
當-$\frac{1}{2}$＜x＜2時，不等式可化為2-x+2x+1≥7，得x≥6，此時無解；
當x≥2時，不等式可化為x-2+2x+1≥7，得x≥$\frac{8}{3}$，∴x≥$\frac{8}{3}$．…（4分）
綜上，所求不等式的解集為{x|x≥$\frac{8}{3}$或x≤-2}．…（5分）
（Ⅱ）f（x）+|x-2|=2|x-2|+|2x+1|≥|2x+1-（2x-4）|=5，
若關于x的不等式f（x）+|x-2|＞a恒成立，則a＜5．

點評 本題主要考查函數的恒成立問題，絕對值不等式的解法，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，體現(xiàn)了分類討論、轉化的數學思想，屬于中檔題．