Question

（2013•淄博一模）已知橢圓c：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

10

）的右焦點(diǎn)F在圓D：（x-2）²+y²=1上，直線l：x=my+3（m≠0交橢圓于M、N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若

OM

⊥

ON

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N₁（N₁與點(diǎn)M不重合），且直線N₁M與x軸交于點(diǎn)P，試問△PMN的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由圓D：（x-2）²+y²=1，令y=0，解得x的值．即可得到c，得到a²=3+c²，進(jìn)而即可橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）把直線MN的方程與橢圓的方程聯(lián)立消去x即可得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其

OM

⊥

ON

?

OM

•

ON

=0，即可求出m的值；
（III）利用對稱求得點(diǎn)N₁的坐標(biāo)得到直線N₁M的方程及與x軸交于點(diǎn)P，求出|FP|，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到|y₁-y₂|，利用三角形的面積公式S△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|及基本不等式即可得出其最大值．

解答：解：（I）由圓D：（x-2）²+y²=1，令y=0，解得x=3或1．
∵a＞

10

，∴取右焦點(diǎn)F（3，0），得a²=3+3²=12＞10．
∴橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

3

=1
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x=my+3 x2 12 + y2 3 =1

，消去x化為（m²+4）y²+6ny-3=0，
得到y1+y2=

-6m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

．
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+6=

24

m2+4

，x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=

36-12m2

m2+4

．
∵

OM

⊥

ON

，∴

OM

•

ON

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，代人得

36-12m2-3

m2+4

=0，化為m2=

11

4

，解得m=±

11

2

，即m為定值．
（III）∵M(jìn)（x₁，y₁），N₁（x₂，-y₂），
∴直線N₁M的方程為y-y1=

-y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，則x=

y1(x2-x1)

y2+y1

+x1=

y1x2+y2x1

y1y2

=

2my1y2+3(y1+y2)

y1+y2

=

-6m m2+4 - 18m m2+4

-6m m2+4

=4，
∴P（4，0），得到|FP|=1．
好∴S△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|好=

1

2

×1×

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

36m2 (m2+4)2 + 12 m2+4

=2

3

×

m2+1 (m2+4)2

=2

3

1 (m2+1)+ 9 m2+1 +6

≤2

3

×

1 12

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)m2+1=

9

m2+1

，即m=±

2

時(shí)取等號．
故△PMN的面積存在最大值1．

點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及a²=3+c²、把直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立消去x即可得到關(guān)于y的一元二次方程利用根與系數(shù)的關(guān)系及其

OM

⊥

ON

?

OM

•

ON

=0及|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

、三角形的面積公式S△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|及基本不等式設(shè)解題的關(guān)鍵．