Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿足：公差d∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中任意兩項(xiàng)之和也是該數(shù)列中的一項(xiàng)．若a₁=3⁵，則d的所有可能取值之和為    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{a_n}中任意兩項(xiàng)之和，根據(jù)數(shù)列{a_n}中任意兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)求出d=，再結(jié)合k，m，n，d∈N^*，即可求出d的所有可能取值進(jìn)而求出結(jié)論．
解答：解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若a₁=3⁵，=243，則a_n=243+（n-1）d．
所以數(shù)列{a_n}中任意兩項(xiàng)之和a_m+a_n=243+（m-1）d+243+（n-1）d=486+（m+n-2）d．
設(shè)任意一項(xiàng)為a_k=243+（k-1）d．
則由a_m+a_n=a_k 可得 243+（m+n-k-1）d=0，化簡可得 d=．
再由k，m，n，d∈N^*，可得 k+1-m-n=1，3，9，27，81，243，
∴d=243，81，27，9，3，1，
則d的所有可能取值之和為 364，
故答案為 364．
點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)．解決問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列{a_n}中任意兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)求出d=，屬于中檔題．