Question

設(shè)

a

，

b

為非零向量，λ∈R，滿足|

a

+

b

|=λ|

a

-

b

|，則“λ＞1”是“

a

，

b

夾角為銳角”的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分必要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：由已知兩邊平方可得(1-λ2)|

a

|2+2(1+λ2)

a

•

b

+(1-λ2)|

b

|2=0．結(jié)合向量數(shù)量積的定義，分析“λ＞1”⇒“

a

，

b

夾角為銳角”和“λ＞1”?“

a

，

b

夾角為銳角”的真假，最后結(jié)合充要條件的定義，可得答案．

解答： 解：由|

a

+

b

|=λ|

a

-

b

|，
兩邊平方得：(1-λ2)|

a

|2+2(1+λ2)

a

•

b

+(1-λ2)|

b

|2=0．
若“

a

，

b

夾角為銳角”，則

a

•

b

＞0，
又由題設(shè)知λ≥0，故λ＞1；
反之，若λ＞1，則

a

•

b

＞0，
但

a

，

b

夾角不一定為銳角，還有可能同向．
故“λ＞1”是“

a

，

b

夾角為銳角”的必要不充分條件．
故選：B．

點評：判斷充要條件的方法是：①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．