Question

5．關(guān)于函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$的性質(zhì)，有如下四個命題：
①函數(shù)f（x） 的定義域為R；
②函數(shù)f（x） 的值域為（0，+∞）；
③方程f（x）=x有且只有一個實根；
④函數(shù)f（x） 的圖象是中心對稱圖形．
其中正確命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 直接利用函數(shù)的定義域、值域判斷①②的正誤；利用函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的關(guān)系判斷③的正誤；利用函數(shù)的對稱性判斷④的正誤；

解答 解：對于①，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$的定義域為R；所以①正確；
對于②，函數(shù)f（x） 的值域為（0，+∞）；顯然不正確，因為函數(shù)減函數(shù)函數(shù)的值域是：（0，$\frac{1}{2}$），所以②不正確；
對于③方程f（x）=x有且只有一個實根；如圖，作出兩個是的圖象，可知

可知方程只有一個根，所以③正確；
對于④，函數(shù)f（x） 的圖象是中心對稱圖形．因為f（x+1）+f（-x）=$\frac{1}{{4}^{x+1}+2}+\frac{1}{{4}^{-x}+2}$，
=$\frac{1}{{4•4}^{x}+2}+\frac{{4}^{x}}{2•{4}^{x}+1}$=$\frac{1}{2}$，∴f（x）關(guān)于（$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$）對稱，所以④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的零點的判斷，考查數(shù)形結(jié)合以及基本知識的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．