Question

已知函數(shù)f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（1）當(dāng)t=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)t≠0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（1））當(dāng)t=1時，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0，f'（x）=12x²+6x-6（2分）f'（0）=-6．所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=-6x．（4分）
（2）f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，解得x=-t或x=

t

2

．（5分）
因?yàn)閠≠0，以下分兩種情況討論：
（i）若t＜0，則t＜0，則

t

2

＜-t，當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(-∞， t 2 )	( t 2 ，-t)	（-t，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，

t

2

)，(-t，+∞)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(

t

2

，-t)．   （8分）
（ii）若t＞0，則-t＜

t

2

，當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，t）	(-t， t 2 )	( t 2 ，+∞)
f'（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-t)，(

t

2

，+∞)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-t，

t

2

)．（12分）