Question

平面內一動點M，到拋物線y²=4x的焦點，以及這個焦點關于原點（0，0）對稱點的距離之和為4，求動點M的軌跡．

Answer 1

分析：根據題意，求出拋物線的焦點坐標F（1，0），得到F關于原點的對稱點為F'（-1，0）．因此，M的軌跡是以F、F'為焦點的橢圓，由橢圓的定義算出a、b之值，得到橢圓的方程，即為所求動點M的軌跡．

解答：解：∵拋物線y²=4x中，2p=4，得

p

2

=1，
∴拋物線的焦點為F（1，0），F關于原點的對稱點為F'（-1，0）．
∵動點M到F、F'的距離之和等于4，
∴M的軌跡是以F、F'為焦點的橢圓，
橢圓的長軸2a=4且半焦距c=1，得a=2，b²=a²-c²=3，
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，即為動點M的軌跡方程．

點評：本題給出動點滿足的條件，求軌跡方程．著重考查了橢圓的定義與標準方程、拋物線的簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．