Question

函數(shù)f（x）=2x-

a

x

的定義域為（0，1]（a為實數(shù)）．
（1）當a=1時，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當a=1時，f（x）=2x-

1

x

，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性“增“+“增“=“增“，可得f（x）=2x-

1

x

在（0，1]上單調(diào)遞增，當x=1時取得最大值f（1）=1，無最小值，進而得到函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，則任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，即(x1-x2)(2+

a

x1x2

)＞0恒成立，進而可得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=2x-

1

x

，
當x∈（0，1]時，y₁=2x和y₂=-

1

x

均單調(diào)遞增，
所以f（x）=2x-

1

x

在（0，1]上單調(diào)遞增．
當x=1時取得最大值f（1）=1，無最小值，
故值域為（-∞，1]．
（2）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，
則任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，
都有f（x₁）＞f（x₂）成立，
即(x1-x2)(2+

a

x1x2

)＞0恒成立，
也就是（x₁-x₂）•

2x1x2+a

x1x2

＞0，
只需2x₁x₂+a＜0，即a＜-2x₁x₂成立．
由x₁，x₂∈（0，1]，
故-2x₁x₂∈（-2，0），
所以a≤-2．
故a的取值范圍是（-∞，-2]．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，是函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．