Question

已知點(diǎn) M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn) P滿足條件|PM |-|PN|=，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.

（1）求 W的方程；

（2）若 A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求·的最小值.

Answer 1

思路分析：由雙曲線的第二定義可知P點(diǎn)的軌跡為雙曲線，求出雙曲線方程，再結(jié)合向量的數(shù)量積公式求解.

解：（1）由|PM|-|PN|=,知?jiǎng)狱c(diǎn) P的軌跡是以 M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長(zhǎng)a=.

又半焦距 c=2，故虛半軸長(zhǎng)b=.

所以 W的方程為=1,.

（2）設(shè) A，B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）,（x₂,y₂）

當(dāng) AB⊥x軸時(shí),x₁=x₂,從而y₁=-y₂,從而=x₁x₂+y₁y₂=x₁²-y₁²=2.

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,與W的方程聯(lián)立,消去y得（1-k²）x²-2kmx-m²-2=0.

故x₁+x₂=,x₁x₂=.

所以=x₁x₂+y₁y₂

=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）

=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²

=+m²

=.

又因?yàn)閤₁x₂＞0,所以k²-1＞0,從而＞2.

綜上,當(dāng)AB⊥x軸時(shí),取得最小值2.