Question

9．已知二次函數(shù)f（x）=x²-2tx+2t+1，x∈[-1，2]
（1）求函數(shù)f（x）的最小值g（t）；
（2）若f（x）≥-1恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分析函數(shù)f（x）=x²-2tx+2t+1的圖象和性質(zhì)，分類討論區(qū)間[-1，2]與對稱軸的關(guān)系，可得函數(shù)f（x）的最小值g（t）；
（2）若f（x）≥-1恒成立，則函數(shù)的最小值≥-1，由此構(gòu)造不等式，可得t的取值范圍．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²-2tx+2t+1的圖象是開口朝上，且以直線x=t為對稱軸的拋物線，
當(dāng)t＞2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2tx+2t+1在區(qū)間[-1，2]上為減函數(shù)，
此時(shí)當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值g（t）=-2t+5；
當(dāng)-1≤t≤2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2tx+2t+1在區(qū)間[-1，t]上為減函數(shù)，在[t，2]上為增函數(shù)，
此時(shí)當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值g（t）=-t²+2t+1；
當(dāng)t＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2tx+2t+1在區(qū)間[-1，2]上為增函數(shù)，
此時(shí)當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值g（t）=4t+2；
綜上所述：g（t）=$\left\{\begin{array}{l}4t+2，t＜-1\\-{t}^{2}+2t+1，-1≤t≤2\\-2t+5，t＞2\end{array}\right.$
（2）∵二次函數(shù)f（x）=x²-2tx+2t+1的圖象是開口朝上，且以直線x=t為對稱軸的拋物線，
當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值g（t）=-t²+2t+1；
若f（x）≥-1恒成立，則-t²+2t+1≥-1；
解得：t∈[1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$]，
即t的取值范圍為[1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．