Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，O是AD的中點，PO⊥平面ABCD，△PAD是等邊三角形，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，cos∠ADB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AD∥BC，AD＜BD．
（1）證明：平面POC⊥平面PAD；
（2）求直線PD與平面PAB所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理求出BD=$\sqrt{5}$，由勾股定理得AB⊥AD，從而CO⊥AD，進而得到CO⊥平面PAD，由此能證明平面POC⊥平面PAD．
（2）以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線PD與平面PAB所成角的大�。�

解答 （1）證明：∵在四棱錐P-ABCD中，O是AD的中點，PO⊥平面ABCD，
△PAD是等邊三角形，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，cos∠ADB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AD∥BC，AD＜BD．
∴$cos∠ADB=\frac{4+B{D}^{2}-1}{2×2×BD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
整理，得$\sqrt{5}B{D}^{2}-8BD+3\sqrt{5}=0$，
解得BD=$\sqrt{5}$或BD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$（舍），
∴AB²+AD²=BD²，∴AB⊥AD，
∴CO⊥AD，
∵PO⊥平面ABCD，CO?平面ABCD，∴CO⊥PO，
∵AD∩PO=O，∴CO⊥平面PAD，
∵CO?平面POC，∴平面POC⊥平面PAD．
（2）解：以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
則P（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，1，0），A（0，-1，0），B（1，-1，0），
$\overrightarrow{PA}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
設平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），
設直線PD與平面PAB所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-2\sqrt{3}}{2×2}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=60°．
∴直線PD與平面PAB所成角的大小為60°．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．