Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，動點P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上運動，且PA=r（），記點P的軌跡的長度為f（r），則=________．（填上所有可能的值）．

Answer 1

分析：由題意畫出圖形并得出相應的解析式，畫出其圖象，經過討論即可得出答案．
解答：如圖所示：①當0＜r≤1時，f（r）=3×=；∴．此時，由一次函數的單調性可得：＜5．
②當1＜r≤時，在平面ABCD內，設以點A為圓心，r為半徑的圓弧與BC、CD分別交于點E、F，則，，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2××=，cos∠EAG==，
∴f（r）=3r+3r；
③當時，∵CM=，∴，∴cos∠MAN==，
∴f（r）=3r．
綜上可知：當0＜r≤1時，；當1＜r≤時，f（r）=3r+3r；當時，∴f（r）=3r．
根據以上解析式及圖性和對稱性可得f（r）的圖象：
由圖象不難看出：函數y=f（r）與y=k的交點個數分別為，0，2，3，4．
故答案為．關于r的方程f（r）=k的解的個數可能為0，2，3，4．
點評：熟練掌握數形結合、分類討論的思想方法、數形結合的思想方法是解題的關鍵．