Question

a,b,c∈R₊，求證: a+b+c≤.

Answer 1

思路分析：本題所證不等式為對(duì)稱(chēng)式（任意互換兩個(gè)字母，不等式不變），在處理該類(lèi)式子中，經(jīng)常對(duì)每個(gè)式子采用同樣的處理方法即可（即輪換技巧）.中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和，將它們拆開(kāi)，再用排序不等式證明.

證明：不妨設(shè)a≥b≥c，則a²≥b²≥c²,≥≥,則a²·+b²·+c²·（亂序和）≥a²·+b²·+c²·（倒序和），同理a²·+b²·+c²·（亂序和）≥a²·+b²·+c²·（倒序和）.兩式相加再除以2，即得原式中第一個(gè)不等式.再考慮數(shù)組a³≥b³≥c³及≥≥，仿上可證第二個(gè)不等式.

方法歸納

    證明不等式就是對(duì)不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，這些操作包括一些添項(xiàng)、拆項(xiàng)，及一定的構(gòu)造,而變形的主要依據(jù)是不等式的性質(zhì).因此在學(xué)習(xí)中，應(yīng)該認(rèn)真把握這個(gè)定理的內(nèi)容形式.